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HUN-TUN - Il Caos
“L'Imperatore del Mare del Sud si chiamava
Shu [Breve], l'Imperatore del Mare del Nord si chiamava Hu
[Repentino], l'Imperatore della regione centrale si chiamava Hun-tun
[Caos]. Shu e Hu di volta in volta si riunivano per un incontro nel
territorio di Hun-tun, e Hun-tun li trattava entrambi molto generosamente.
Shu e Hu discutevano di come potrebbero ripagare la sua gentilezza.
Dicevano: "Tutti gli uomini hanno sette aperture, così da poter vedere,
sentire, mangiare e respirare. Ma il solo Hun-tun non ne ha alcuna.
Cerchiamo di aprirgliene una!" Ogni giorno essi aprivano un altro buco, e il
settimo giorno Hun-tun morì”.*
Hun-tun, che è il Caos, non deve essere
confuso con il solito caos com’è visto nel mondo occidentale nel senso
"caotico". Esso è l'ideale supremo del Taoismo. Il caos è totalità, unicità
e Natura. Il Caos rappresenta, allo stato naturale del mondo. Scavare buchi
sulla testa del Caos significa distruggere lo stato naturale del cosmo.
Perciò, per i Cinesi antichi, ‘caos’ non solo ha il senso di
disordine, ma presenta anche un rispettabile stato estetico. Questa idea di
caos può essere molto diversa dalla sua controparte occidentale.
CAOS MAGICOO - Incarnato in tutto quanto è
stato detto sopra, è ciò che è stato chiamato Caos Magicoo. "Caos Magicoo" è
un termine moderno per qualcosa che è stato coltivato e utilizzato nello
Sciamanesimo e altre categorie simili nelle culture di tutto il mondo per
secoli, sotto altri termini e nomi, ed a volte anche senza alcun nome. Ciò
che è il Caos Magicoo è quasi un riflesso speculare del grande Shaman
Obeah, e come visto pure da molti esseri quasi sullo stesso piano.
Il Caos Magicoo è terribile, potente, compulsivo e, in mani sbagliate,
altamente pericoloso. Inoltre, come in Obeah, il suo segreto sta nel suo
potere. Talvolta anche i White Light Shields (Scudi di Luce Bianca)
di una persona possono collassare vulnerabilmente, essere resi impotenti, o
agganciarsi ad un altro potere più forte quando opposto in una prova di
forza.
Aderenti al Caos Magico qui indicati sono
un’inter-connessione e inter-relazione sottostante di tutte le cose
nell'universo. Ciò che sembra casuale o caotico ha un "ordine" più alto che
può essere percepito da una ben più vasta prospettiva. Da questo sorge la
forza vitale, la tendenza per la materia di poter acquisire intelligenza.
Filosoficamente, il Caos Magico ha una
somiglianza con il Taoismo e lo Zen, con una forte dose di ciò che in
sanscrito si chiama SIDDHI. Il successo dipende dall’auto-annientamento del
‘sé’ spogliato per il nudo non-sé (Anatta) o morte dell’Ego, quindi
si vede che c'è molto in comune con il Madhyamaka di Nagarjuna e le scuole
di Zen. E’ stato detto che gli effetti di un ‘Koan’ Buddista Zen
sulla mente discorsiva è un piccolo assaggio di ciò che ricerca un esperto
di Caos Magico. La pratica del Caos Magico può essere destabilizzante perché
è progettato per distruggere le convinzioni. Un po’ come le droghe
psichedeliche, esso può alterare drasticamente la vostra realtà.
Poiché ogni dualismo è un’illusione, il Caos
Magico non discrimina tra la cosiddetta magia "bianca" o "nera", come dire
visto attraverso gli occhi, per esempio, di un diablero, uno
sciamano-stregone con una tendenza malvagia, come potrebbe essere Don
Juan Matus, il tipo di insegnante sotto cui Carlos Castaneda fu
apprendista. Essendo moralmente neutrale, il Caos Magico probabilmente non è
per quelli che non hanno già elaborato un ben sviluppato codice di etica
personale. Gli adepti del Caos Magico sono talvolta definiti come maghi di
"magia nera", ma non come definita da coloro che il lato oscuro
dell’esistenza lo vedono semplicemente come il "male". Come con la ‘Madre
Kali’, la dea Nera dell’Induismo, che toglie via l’oscurità da qualunque
individuo che si sforza nel cammino di perfezione svolgendo le discipline
spirituali, purificazioni e austerità. Così come tutti i colori dello
spettro sono mixati nel nero, però il nero rimane ancora nero, così, la Dea
Kali, che è completamente Scura e Inconoscibile, toglie tutte le
Oscurazioni, mentre Lei stessa, rimane immutata. Se la sua magia è "nera", è
perché tratta con ciò che è oscuro e nascosto.
Mentre osservavo i Londinesi che, camminando
per strada, erano intenti alla loro vita, all'interno di ogni essere
appariva una luminosità ‘oscura’. Ma, al tempo stesso, vi era una
strana sensazione che essi fossero non più che sonnambuli ‘robot’ totalmente
ignari della natura che splende dentro di essi. La forza vitale di ciascuna
persona era in qualche modo intrappolata all'interno di un trasognato ed
ottuso guscio che sembrava impedire qualsiasi contatto con il reale e ciò
che poteva essere stato acceso con la coscienza era grigio e senza vita.
(vedi: Yatri, ‘Unknown
Man: The Mysterious Birth of a New Species’. New York: Simon and
Schuster, 1988)
Il Buddismo insegna che dopo che un praticante
ha raggiunto un certo grado di realizzazione, egli sviluppa un potere
spirituale. Una persona a livello di Arhat si dice che sia in
possesso di sei poteri soprannaturali. Anche così, resta inteso che è
attraverso l’Illuminazione che i poteri soprannaturali si manifestano,
piuttosto che siano i poteri soprannaturali a rafforzare l’Illuminazione.
Inoltre, è anche riconosciuto che i poteri soprannaturali non sono
esclusivamente raggiungibili soltanto e solamente dai Buddisti. E’
possibile per chiunque abbia una profonda coltivazione religiosa e
spirituale sviluppare qualche sorta di poteri "super-normali". (Fonte)
Breve storia del concetto
di Caos
Di Huajie Liu (Dipartimento di Filosofia,
Università di Pechino, 100871, Beijing, PRChina)
1999-04-12 -
(http://members.tripod.com/~huajie/Paper/chaos.htm)
Negli ultimi due decenni, con la
pubblicazione di più di 7200 documenti e 260 libri, la scoperta del
caos nella dinamica non lineare ha avuto un potente impatto su molte
discipline, tra cui matematica, meccanica, informatica, biologia, ecologia,
astronomia, ingegneria, economia, arte e, naturalmente, la filosofia.
Solo l'onda d'urto della meccanica quantistica nella storia delle
scienze può paragonarsi favorevolmente con esso, nel senso di avere un
grande scompiglio nella società e nei media. Come la meccanica
quantistica, la teoria del caos ha causato un sacco di confusione semantica
quando divenne un argomento animato e popolare.
In questo articolo, desidero chiarire il
significato di caos attraverso materiali provenienti da
antiche culture alle scienze moderne e delinearne la natura ed il
significato. Prima di tutto, occorre ricordare che il caos non
è altro che una sorta di speciale movimento dinamico proveniente da
equazioni deterministiche, che mostrano una estremamente sensibile
dipendenza dalle condizioni iniziali del sistema. Ci sono molte
considerazioni circa il concetto di caos, ma questo è il suo
significato centrale dal punto di vista dell’attuale scienza e della
matematica.
Il
lettore che non è interessato alla semantica del caos nei tempi antichi e
alle scienze in generale, può saltare le prime cinque sezioni, e andare
direttamente alle sezioni 6, 7 e 8, in cui si parla direttamente della
definizione di caos nel suo significato filosofico.
1. Il Caos in alcuni Antichi
Classici
Esiodo, nei paragrafi 116, 123, 700 della
Teogonia, disse che il Caos è il Dio primordiale prima di
Gaia, Tartaros ed Eros, e Publio Ovidio Nasone all'inizio delle
Metamorphosis ripeté l'idea. La Sacra Bibbia menziona in
molte occasioni i conflitti tra Dio e il Caos, ad esempio in Genesis
1:1-2; 26-30, Isaia 24:9-10,16-17; 34:9-11, 45:18-19, Geremia 4:23-26, 1:5-6
Micah 1:5-6, Zaccaria 14:3-5, Giobbe 10:20-22 e Giovanni 1:5-10. Gli autori
della Bibbia descrivono il Caos come "un luogo di disordine",
"senza nessuna regola", "lo stato senza-forma", "di totale disordine e
confusione", "la condizione di vacuità, irrealtà, e desolazione", e
"un’esistenza senza-significato".
La Bibbia ci dice indirettamente ‘chi’ ha
creato il caos. Forse esso già esisteva prima della creazione e esisterebbe
per sempre solo al fine di far esistere la volontà di Dio. Quindi ci sono
due speculazioni: una è che Dio iniziò la sua creazione da una base
primordiale, che era un indifferenziato miscuglio, vale a dire il caos;
un’altra è che all'inizio vi era solo l'anima (o mente) di Dio, i
cieli, e che la terra e il caos furono tutti generati da Dio.
Trovo che quasi tutte le culture nei tempi
antichi costruirono le loro leggende circa la creazione del caos con
strutture analoghe. Qui voglio raccontare la Storia del Caos estratta da uno
degli antichi classici Cinesi – il Chuang Tzu:
“L'Imperatore del Mare del Sud si chiamava
Shu [Breve], l'Imperatore del Mare del Nord si chiamava Hu
[Repentino], l'Imperatore della regione centrale si chiamava Hun-tun
[Caos]. Shu e Hu di volta in volta si riunivano per un incontro nel
territorio di Hun-tun, e Hun-tun li trattava entrambi molto generosamente.
Shu e Hu discutevano di come potrebbero ripagare la sua gentilezza.
Dicevano: "Tutti gli uomini hanno sette aperture, così da poter vedere,
sentire, mangiare e respirare. Ma il solo Hun-tun non ne ha alcuna.
Cerchiamo di aprirgliene una!" Ogni giorno essi aprivano un altro buco, e il
settimo giorno Hun-tun morì”.*
(The Complete Works of Chuang Tzu, tradotto
da Burton Waston, Columbia University Press, 1968, pp.97)
Qui c’è un altra traduzione del
professor Fung Yu-Lan: “Il sovrano del Mare del Sud si chiamava Cambiamento;
Il sovrano del Mare del Nord si chiamava Incertezza, e il Sovrano della zona
Centrale si chiamato Primordiale. Cambiamento e Incertezza spesso si
riunivano nel territorio di Primordiale, e essendo sempre trattati bene da
lui, decisero di ripagare la sua gentilezza. Essi dissero: "Tutti gli uomini
hanno sette fori per vedere, sentire, mangiare, e respirare. Solo
Primordiale di questi non ne ha nessuno. Cerchiamo di fargliene qualcuno".
Così ogni giorno cominciarono ad aprirgli un foro, ma il settimo giorno
Primordiale morì.”
(Chuang-tzu, A New Seleted Translation with an Exposition of the Philosophy
of Kuo Hsiang by Fung Yu-Lan, Foreign language Press, Beijing, 1989, pp.113)
Perché? Il caos è l'ideale supremo del
Taoismo. Il caos è totalità, unicità e Natura. Il Caos rappre-senta lo stato
naturale del mondo. Scavare buchi sulla testa del Caos significa distruggere
lo stato naturale del cosmo. Pertanto, per l'antico popolo cinese caos
non ha solo il senso di disordine, ma presenta anche una rispettabile
condizione estetica. Questa idea di caos può essere molto diversa dalla sua
controparte occidentale.
In un antico documento, il ‘Sutra di Montagne
e Mare’ (Shanhai Jing), il Caos indica il Dio del Sole: “Vi è un uccello
sacro, con l’aspetto come un sacchetto giallo e con la superficie color
rosso fuoco come il fornello alchemico. Esso ha sei piedi, quattro ali e un
volto rugoso sul quale nulla può essere identificato, ma esso capisce molto
bene musica e danza. In realtà è l'Imperatore del Dijiang (cioè, Dihong o
l’Imperatore Giallo, il primo antenato della nazione Cinese)”.
Sembra abbastanza ragionevole considerare il
Sole (cioè, Caos) come il primo antenato della nazione Cinese. In questo
senso, il Caos è l’Apollo dell’antica Cina, però vi sono anche alcune
differenze di base, perché non vi era affatto alcuna religione vera e
propria nella storia della Cina.
2. L’Uso del Caos nelle Scienze in generale
A mia conoscenza, molti scienziati tra cui
alcuni studiosi di scienze sociali hanno usato il concetto di caos in modi
assai diversi. Aureolo Paracelso utilizzava il caos riferendosi all’aria e
J.B. van Helmunt creò il concetto di gas dal caos. Thomas Burnet, Robert
Boyle, C. Linneo, I. Kant, K. Marx, T.R. Malthus, John Stuart Mill, tutti
usarono il caos per descrivere le loro teorie o credenze filosofiche. Qui io
citerò solo le sentenze di Mill dal capitolo 7 della sua ‘Logica’:
“L'ordine della natura, com’è percepito a
prima vista, presenta in ogni istante un caos seguito da un altro caos. Noi
dobbiamo scomporre ciascun caos in singole realtà. Dobbiamo imparare a
vedere nel caos antecedente un multiplo dei distinti antecedenti, nel caos
successivo una moltitudine di distinte conseguenze”.
Alla fine del secolo scorso, l'ipotesi di caos molecolare nella statistica
meccanica sollevata da Ludwig Boltzmann (egli usò la parola tedesca "Stosszahlansatz")
fu adottata per interpretare il teorema ‘H’. James Hopwood Jeans e Paul e
Tatiana Ehrenfest in seguito discussero di questa ipotesi nei loro libri.
Quest'ultimi dissero che Stosszahlansatz era in qualche modo diversa
dall'ipotesi di caos molecolare.
Nel 1938 e 1943, Norbert Wiener scrisse due saggi matematici ‘Il Caos
Omogeneo’, ‘Il Caos Discreto’ in Amer. J. Math., in cui coniò le
parole e le frasi "Caos", "caos omogeneo", "caos unidimensionale", "caos
pluridimensionale", "puro caos", "discreto caos", "caos polinominale" ecc.,
e impostò la sua teoria del processo stocastico di caos, modellando un nuovo
paradigma diversamente alla tradizione meccanica deterministica di Newton.
Poichè la teoria delle strutture dissipative
divennero di moda dal 1970, il concetto di Ilya Progogine del caos entropico
si propagò in tutto il mondo. Prima del 1980, Prigogine menzionò spesso il
caos in due suoi famosi libri con due distinti significati: 1) l'equilibrio
termodinamico del caos, e 2) il non equilibrio turbolento del caos. Credoo
che egli sia in parte responsabile per l'arbitrario e negligente uso del
caos in campo accademico.
3. Prima dell'Attuale Ondata di
Caos.
E 'assolutamente inopportuno dichiarare chi è
stato il primo a riconoscere la dinamica non lineare del caos nella storia
delle scienze, anche se alcune persone preferiscono farlo, come ad esempio
T.Y. Li e James Yorke sono stati considerati i primi a scoprire il caos nel
1975. Infatti, prima di Yorke & Li, Robert M. May, fisico teorico
Australiano e poi ecologista in America, pubblicò l’articolo "Popolazioni
biologiche con generazioni non-sovrapposte: punto stabile, e stabili cicli
di caos" in ‘Science’, in cui egli suggerì che il caos fosse
un nuovo stato statico del sistema dinamico, un’idea chiave per lo sviluppo
di questa iniziativa.
Vi fu un’interessante storia diffusa riguardo
Yorke & Li e R. May: la pubblicazione dell’articolo di Li & Yorke, "Period
Three Implies Chaos" fu incoraggiato dall’indirizzo di May alla Maryland
University nel 1974. Questi sono avvenimenti relativamente recenti. Dal
punto di vista della storia e della filosofia delle scienze, dobbiamo
concentrarci su molti fatti e materiali stabiliti prima di noi da alcuni
grandi scienziati, come ad esempio J.C. Maxwell, A.M. Liapunov, P.M.M.
Duhem, J.-S.Hadamard ed Henri Poincaré. Ci sembra perfino incredibile come
essi possedessero in modo così preciso la comprensione dell'instabilità
della meccanica classica prima degli scienziati ordinari negli anni 1970.
Maxwell sostenne che il fatto che si possa
ottenere lo stesso conseguente dallo stesso antecedente è un dogma
metafisico. Nessuno può negarlo, ma in realtà lo stesso antecedente non
emerge mai due volte. In fisica usiamo un postulato simile: siamo in grado
di ottenere un effetto simile a decorrere da una premessa simile. Ma questa
volta si cambia da uguaglianza a somiglianza, da assoluta precisione a
grezza approssimazione. Questa trasformazione non causa nessun problema, ma
ci sono altri casi in cui ci troviamo di fronte ad una complessa
instabilità.
James Clark Maxwell (1873) disse: “E’ un dogma
metafisico che dagli stessi antecedenti seguano gli stessi conseguenti.
Nessuno può negarlo. Ma in un mondo come questo ciò non è molto abituale, un
mondo in cui gli stessi antecedenti non coincidono più, e niente accade mai
due volte.... L’assioma fisico che ha un aspetto quasi uguale è ‘che da
simili antecedenti seguono simili conseguenti’. Ma qui siamo passati da
uguaglianza a somiglianza, da una assoluta precisione ad una più o meno
grezza approssimazione. Ci sono alcune classi di fenomeni, in cui un piccolo
errore nei dati produce solo un piccolo errore nel risultato, ed in questi
casi il corso degli eventi è stabile. Ci sono però altre classi di fenomeni
che sono più complicati, in quei casi può verificarsi instabilità, ed il
numero di tali casi è in aumento in un modo estremamente rapido, allorchè
aumenta il numero di variabili.... Ogni esistenza al di sopra di un certo
rango ha i suoi punti singolari: più il rango è elevato, più sono. A questi
punti, la cui influenza di grandezza fisica è troppo piccola per essere
presa in considerazione da un essere finito, può produrre risultati della
massima importanza. Se, ordunque, quei coltivatori della scienza fisica
grazie ai quali le persone intelligenti deducono la loro concezione della
fisica, sono indirizzati al perseguimento degli arcani della scienza ed allo
studio delle singolarità e delle stabilità delle cose, la promozione della
conoscenza nazionale può tendere a rimuovere quel pregiudizio in favore del
deter-minismo che sembra derivare dal presupposto che la scienza fisica del
futuro sia una semplice immagine ingrandita di quella del passato”. (Da ‘Teaching
Nonlinear Phenomena’ -I, pp.47).
Maxwell suggerì che
esistono sistemi instabili il cui comportamento può entrare in conflitto con
la causalità generale postulata in fisica, che discuterò più avanti nel
contesto del significato di ‘caos’.
Nel 1898, Jacques Hadamard, un matematico Francese, all'età di 30 anni trovò
un sistema di curva negativa mostrante una sensibile dipendenza dalle
condizioni iniziali. Al tempo stesso, Pierre Duhem, scienziato, storico e
filosofo della scienza, colse il vero significato filosofico del risultato
di Hadamard. Questo lo portò a distinguere il punto e il tragitto fisico da
quelli matematici e geometrici.
Ora dobbiamo parlare del padre della moderna
dinamica non-lineare, Henri Poincaré, che contribuì con un sacco di
strumenti e metodi per l'esplorazione in un nuovo mondo di meccanica e
matematica classica. Poincaré creò la dinamica qualitativa, la teoria
ergodica, la topologia e la teoria biforcativa, che sono tutte fondamentali
per lo studio dell’attuale teoria del caos. Egli non solo descrisse come le
instabilità dinamiche influenzino le previsioni nei suoi famosi lavori di
filosofia scientifica, ma anche il reticolo di strutture specifiche
omocliniche trasversali nel suo ‘Les Méthodes de la Méchanique Céleste’.
Henri Poincaré, nel suo libro del 1903 ‘Science and Method’, disse che:
“Se conoscessimo esattamente le leggi della
natura e la situazione dell'universo nel momento iniziale, potremmo
prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un momento
successivo. Ma anche se fosse vero che le leggi naturali non abbiano più
alcun segreto per noi, potremmo conoscere però solo poco circa la situazione
iniziale. E se ciò ci consentisse di prevedere la situazione successiva con
la stessa approssimazione, che è ciò di cui abbiamo bisogno, dovremmo dire
che il fenomeno era stato previsto, cioè è governato da leggi. Ma non è
sempre così, può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali
ne producano di più grandi nei fenomeni finali. Un piccolo errore
nell’evento precedente produrrà un enorme errore nel successivo. La
previsione diventa impossibile, e quindi poi abbiamo il fenomeno casuale e
fortuito”.
Harold Marston Morse e G.D. Birkhoff
continuarono la tradizione di Poincaré, sviluppando la teoria del sistema
dinamico in America. Nel 1921 Morse, nel suo articolo "Geodesie ricorrenti
su una superficie di curvatura negativa" in ‘Trans. Amer. Math. Soc.’,
dimostrò che esistono ricorrenti geodesie di tipo discontinuo il che
corrisponde all’attuale curva caotica. Egli costruì anche rigorosamente un
sistema: "Esiste un’infinita serie di simboli, ognuno dei quali è 1 o 2, che
forma un insieme che è ricorrente, senza essere periodico". Nel 1922 G.D.
Birkhoff scrisse un articolo di 119 pagine in: ‘Mathematica Acta’ in
cui classificò i movimenti del sistema dinamico in sette categorie, di cui
la quarta fu chiamata movimenti ricorrenti di tipo discontinuo. Egli,
insieme a P. Smith, nel 1931, introdusse il concetto di transitività metrica
che fu una solida base per la ‘teoria ergodica’ e fu utilizzato da R.L.
Devaney nel 1986 per definire il caos.
Nel 1920 Van der Pol e Van der Mark studiando
le ‘relaxing-oscillations’ scoprirono il fenomeno della
demoltiplicazione di frequenza. Essi pubblicarono nel 1927 un breve
documento in ‘Nature’ la cui importanza sta: 1) essi scoprirono il
‘period-dubling-bifurcation’ in un sistema fisico che è considerato scenario
di base al caos, e 2) essi adottarono le cosiddette devil-stairs-image
con struttura frattale.
I matematici Inglesi M.L.Cartwright & J.E.Littlewood (CL) assorbirono Pol &
Mark, Morse, Birkhoff e i risultati di Morman Levinson e trovarono la
"bad-curve" mentre cercavano nelle equazioni differenziali non lineari di
secondo ordine. N. Levinson (L) nel 1949 ampliò la ricerca di C. & L. nel
suo articolo "Un secondo ordine di equazione differenziale con singole
soluzioni" in ‘Annals of Mathematics’ in cui egli dimostrò con
successo che c’è una soluzione che attira il caos col potere di continuità
chiamata ‘strange-attractor’, dopo il 1970. Inoltre, S. Smale nel 1960
estrasse l’importante concetto del "ferro di cavallo" dal lavoro di L. L.
C..
4. Due Definizioni per l’Attuale Teoria del
Caos
Gli immediati predecessori dell’entusiastica
corsa all'oro della teoria del caos all’inizio degli anni 1970
provennero da due diversi tipi di sviluppi, all'inizio degli anni ‘60. Uno è
il teorema-KAM di sistemi conservativi, e l'altro è il modello-meteo di
sistemi dissipativi di E. Lorenz. La Teoria-KAM risale ad A.N.Kolmogorov nel
Congresso Internazionale Matematici di Amsterdam del 1954. Poi, nel 1961
V.I. Arnold (studente di Kolmogorov) e nel 1963 J. Moser, provarono
rigorosamente questo teorema. Da qui il nome KAM. Il teorema-KAM era troppo
difficile da capire anche per matematici professionali. Gli scienziati non
ne colsero lo spirito e il significato esatto se non un decennio più tardi.
Il Teorema- KAM, o più precisamente la sua violazione, può essere usato per
spiegare molti comportamenti stocastici nei sistemi meccanici classici
conservativi. Nel 1969 G.H.Walker e Joe Ford sfruttarono la teoria-KAM per
interpretare alcuni risultati con esperimenti al computer. Nel loro
articolo, "Amplitude instability and ergodic behavior for conservative
nonlinear oscillator systems" gli autori stabilirono contatti tra il
teorema-KAM, il teorema di Poincaré sui ricorrenti, il fondamento della
fisica statistica, l'origine di complessità nel sistema semplice non
lineare, gli esperimenti di M. Hénon & C. Heiles ed i fenomeni FPU, ecc.
Nell’approccio al sistema dissipativo, nel
1963 E.N. Lorenz scrisse un’articolo in J. Atmos. Sci. dal titolo
"Deterministic nonperiodic flow" in cui egli dette un semplice sistema
ordinario di equazione mostrante un attrattore estraneo-tipo-farfalla
(termine coniato nel 1971 da David Ruelle e F.Takens) che è diventato
l'icona e il simbolo della teoria del caos. Circa nello stesso periodo, un
universitario giapponese, Yoshisuke Ueda, trovò da solo un
‘strange-attractor’ nell’equazione di Duffing.
I progressi di queste due strade sono stati
tutti supporti provenienti dalla simulazione numerica. E’ con l’aiuto del
calcolare e mostrare le tecnologie con i moderni computer che la teoria del
caos e altre teorie della scienza non-lineare sono cresciute.
5. Mappa Logistica: ‘Nonlinear
Sparrow’
Come dice il proverbio
Cinese: "un passero può essere anche piccolo ma ha tutti gli organi vitali –
è piccolo ma completo." La mappa logistica unidimensionale è come il
passero delle scienze nonlineari, che seguendo il modello ed il
movimento Browniani, può essere considerata come il paradigma della terza
breccia della meccanica classica. La mappa logistica ha delle biforcazioni,
orbite periodiche stabili ed instabili, finestre periodiche, comportamenti
miscelati ed ergodici, connessioni omocliniche, orbite caotiche e certi tipi
di universalità.
G.Julia, Von Neumann,
S.M.Ulam studiarono a lungo la mappa logistica prima che apparisse la teoria
del caos. Nel 1973, tre matematici di Los Alamos, N. Metropolis, M.L.Stein e
P.R.Stein (MSS) intra-presero ricerche sulla trasformazione sull’unità di
intervallo. Essi sistematicamente introdussero la dinamica simbolica,
costruendo algoritmi armonici ed anti-armonici per sequenze simbolo. Dopo
gli MSS, i DGP (B. Derrida, A. Gerois e Y. Pomeau) nel 1978 pubblicarono un
documento che è stato un importante passo avanti e che dette un simile
teorema interno che indicava che esiste una sorta di universalità topologica
nella dinamica non lineare. M. Feigenbaum a metà degli anni 1970 scoprì le
costanti in una mappa logistica che rappresenta un altro tipo di
universalità, universalità metrica, nei sistemi non lineari.
A quel tempo,
l'articolo"Period three implies caos" di Li & Yorke causò una
piccola scossa negli ambienti accademici e fu copiato in tutto il mondo. In
effetti, A.N.Sarkovskii, un matematico ucraino, pubblicò in un famoso
giornale un risultato più generale di quello pubblicato da Li & Yorke circa
un decennio di anni fa. Riguardo alla mappa logistica ci sono molti
malintesi. Qui voglio chiarirne alcuni.
(1) Il teorema di Li & Yorke afferma l'esistenza del problema delle orbite
periodiche dato un giusto parametro. Non tratta direttamente con 'la
distribuzione di diversi parametri di orbite stabili, quindi non corrisponde
alla biforcazione, figura che può essere facilmente visibile e visualizzata
su schermo del computer. Solo sul prodotto-spazio dal parametro-spazio e
della frase-spazio si può ricercare lo spettro di biforcazione. Il teorema
di Li & Yorke parlava solo della proprietà esistenziale delle orbite
periodiche sulla frase-spazio.
(2) Il teorema di Li &
Yorke e il teorema di Sarkovskii discussero l'esistenza delle orbite
periodiche, ma essi non affermavano nulla sulla loro situazione di stabilità
e non dicevano le loro misure relative ai movimenti del caos, cioè quanto
essi contavano in percentuale. Per un’unica mappa a dimensione unimodale che
soddisfacesse H.A.Schwartz nel 1978 le condizioni di D.Singer dimostrarono
che c’era un’unica orbita più stabile dato un certo parametro. Quindi esiste
questa possibilità: il sistema può possedere orbite periodiche, ma molte o
addirittura tutte esse sono invisibili perché solo orbite stabili possono
essere viste fisicamente.
(3) Il teorema di Li &
Yorke parlava della proprietà verticale dello spettro di biforcazione della
mappa logistica e il teorema di Sarkovskii parlava della proprietà
orizzontale di esso. Alcuni pensano che il teorema di Li & Yorke significhi
che stabili orbite periodiche coesistano con orbite caotiche in un parametro
fisso. Ciò è sbagliato. Perché la mappa logistica per un parametro
all’interno del periodo di tre finestre non vi è un’orbita caotica stabile e
nessun altra orbita periodica stabile.
(4) Il (teorema) Li &
Yorke non definisce il caos come un serio termine scientifico. Il Caos però
è un concetto di routine, perfino in questo stesso articolo-chiave che fa un
grande polverone nella teoria del caos.
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6. Che cos'è il
Caos?
Ci sono molte definizioni funzionali per il
caos. Nel quadro della meccanica classica, il caos significa spesso caos
deterministico. Quattro proprietà quantitative possono essere utilizzate per
identificare se ci troviamo di fronte ad un sistema-caos. I quattro indici
sono le esponesnti caratteristiche positive di Liapunov che misurano la
velocità di separazione di traiettorie contigue, struttura del frattale e la
dimensione della frase-spazio, entropia topologica non negativa, e continuo
spettro di potenza. Io ho anche dedotto cinque caratteristiche generali per
il movimento-caos:
(1) Determinismo
Teoricamente, il movimento del caos nel quadro
classico studia che deve essere generato da una o più equazioni
deterministiche che non contengono alcun fattore casuale. Le condizioni del
sistema di passato, presente e futuro sono controllate da regole
deterministiche. È perché gli scienziati trovano il comportamento stocastico
nel totale sistema deterministico che diventano entusiasti e sono attratti
dal sondarne i segreti. Nel lungo periodo, gli scienziati devono studiare
sistemi più complessi che includono il tipo che ora si chiama caos.
Ma per il momento è di estrema importanza rafforzare il determinismo.
(2) Nonlinearità
Per ‘Nonlinearità’ si intende la non
sovrapposizione di fattori o effetti, ciò significa che nelle equazioni ci
sono termini come: X 2, 2mxy, byz, in cui X, Y e Z sono variabili, b, e m,
sono parametri. La non-linearità è una necessaria, ma non sufficiente
condizione per la comparsa del caos. I movimenti-Caos devono provenire da un
sistema non lineare ma la nonlinearità non implica necessariamente il caos.
In ogni caso, la nonlinearità non è uguale a linearità.
(3) Dipendenza sensibile dalle condizioni
iniziali
In generale, l'evoluzione di un sistema
dipende dal suo stato iniziale anche se può essere dimostrata la parità dei
risultati finali. Quando il nostro interesse si focalizza su tutti gli
attrattori dissipativi allora l'evoluzione sembra non
sensibilmente-dipendente dalle sue condizioni iniziali, dato che tutte le
traiettorie cadono sull’attrattore. Ma se il nostro interesse si concentra
sulla struttura interna del ‘strange-attractor’ otteniamo una strana
raffigurazione: le traiettorie convergono e divergono in modo esponenziale.
Per un sistema caotico, questa proprietà della SDIC deve essere valida per
quasi tutti i possibili stati iniziali. Ai sensi del presente vincolo una
possibile spiegazione geometrica per strutture della fase caotica è stirante
ed estensibile. Le traiettorie caotiche si muovono per sempre all'interno
della fase finita di spazio. O.E.Rössler pensava che la perichoresis
(movimento-intorno) utilizzata dall’ antico filosofo Greco Anassagora è
appropriata per questo tipo di movimento, e se G.D. Birkhoff ne avesse
conosciuto l’uso non avrebbe creato un ricorrente termine Latino.
(4) Aperiodicità
Il movimento caotico è un nuovo tipo
topologico di movimento che è molto diverso da un punto fisso, limite
cicloidale e limite toroidale. Le sue orbite sono non-periodiche. Ciò
significa che un’orbita-caos non può mai unirsi ad un’altra o ripetere la
sua storia. Ma non tutte le orbite non periodiche sono orbite caotiche. I
movimenti perlopiù-periodici e i movimenti quasi-periodici sono a-periodici
ma non caotici. Qui vorrei chiarire un punto: che il sistema caos può (e
spesso lo fa), contenere movimenti periodici e le orbite periodiche e
non-periodiche possono entrambe legarsi insieme.
Le quattro proprietà di cui sopra sono
necessarie ma non sufficienti per il caos.
(5) Una certa Stabilità con una certa
Tensione e Limitatezza
Vi sono differenti attitudini verso i
requisiti della stabilità del caos. Dal punto di vista della matematica
pura, è conveniente definire il caos senza la considerazione di stabilità
delle orbite. Ma fisicamente, la stabilità è così importante che è meglio
includere vincoli stabili nel definire i movimenti del caos. In realtà, gli
scienziati tendono a comprendere il movimento del caos in un modo fisico. Ai
loro occhi, il caos è legato, ma coinvolto in un tipo di stabilità sciolta.
Il movimento del caos sul ‘strange-attractor’ è localmente instabile, ma
stabile globalmente.
La definizione di caos di R.L.Devaney nel
1986, comprende tre parti: l'imprevedibilità, l'indivisibilità e la
regolarità che corrispondono alla SDIC, ergodicità o miscelazione di
fase-spazio, e deterministiche regole di sistema, rispettivamente. Infine,
cercherò di dare una definizione descrittiva del classico caos: “Il
movimento-caos è un comportamento ricorrente, casuale, e a-periodico,
generato da una non lineare equazione deterministica con sensibile
dipendenza dalle condizioni iniziali del sistema. Dal punto di vista della
teoria dell'informazione algoritmica la traiettoria caotica possiede una
debole stocasticità algoritmica”.
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7. Il Distruttore della Causalità
Funzionale
Dobbiamo dire che David
Hume (1711-1776) discusse il problema della causa ed effetto, nel suo
libro ‘An Inquiry Concerning Human Understanding’. Egli disse che la
conoscenza della relazione di causa ed effetto non si ottiene col
ragionamento a priori, ma nasce interamente da un'esperienza, quando
scopriamo che tutti gli oggetti particolari sono costantemente congiunti gli
uni con gli altri.
“Io ho trovato che
un certo oggetto è sempre stato unito con un certo effetto e prevedo che gli
altri oggetti che sono in apparenza simili saranno congiunti con effetti
simili…. La connessione tra queste proposizioni non è intuitiva. E’
richiesto un mezzo che possa consentire che la mente sia attratta da un tale
inferenza, anzichè essere attratta dal ragionamento e dall’argomentazione.…
In realtà, tutti gli argomenti per esperienza si fondano sulla somiglianza
che noi scopriamo tra oggetti naturali, e di cui siamo indotti a aspettarci
effetti simili a quelli che abbiamo trovato a seguito di tali oggetti. E se
nessuno, se non un folle o un pazzo, potrà mai pretendere di discutere
l'autorità dell’esperienza, o di respingere quella grande guida che è la
vita umana, si può sicuramente consentire ad un filosofo di avere così tanta
curiosità, almeno come esaminare il principio della natura umana, che offre
questa potente autorità a sperimentare, e che ci fa trarre vantaggio da
questa somiglianza che la natura ha posto tra i diversi oggetti. Da cause
che appaiono simili, ci aspettiamo effetti simili.... Quando un uomo dice,
‘ho trovato, in tutti i passati esempi, come le ragionevoli qualità,
congiunte con tali poteri segreti’, e quando dice, ‘simili qualità
ragionevoli saranno sempre congiunte con simili poteri segreti’, egli non è
colpevole di tautologia, né queste proposizioni sono in alcun modo le
stesse”.
(David Hume, ‘An
Inquiry Concerning Human Understanding’, The Liberal Arts Press,
1955, pp.42-53)
Prego notare le parole "simili" e "somiglianza" nella citazione di cui
sopra. Oggi, la teoria del caos riproduce le preoccupazioni di Hume riguardo
alla legge di causa ed effetto, nel senso di pratica o di esperienza. Hume
non volle negare la legge di causa ed effetto, ma volle solo renderla più
purificata, come ha detto Rudolph Carnap.
La legge di causalità è
la premessa per tutte le ricerche scientifiche, ma nessun fatto empirico può
mai falsificarla. Essa è sempre logicamente corretta. A mio parere, la legge
di causalità significa che la stessa causa può produrre lo stesso effetto.
Il problema è come determinare qual è la stessa causa e qual è lo stesso
effetto. Rigorosamente parlando, condizioni spazio-temporali simili e tutte
le altre situazioni fisiche non possono accadere ripetutamente nel mondo
reale. Quindi, che cosa significa la ‘causalità’? Deve significare che una
causa molto simile dovrebbe produrre un effetto molto simile, nel senso di
funzionamento. Tuttavia, cosa è "molto simile", e come si può garantire la
realizzazione di questo tipo di ‘molto simile’? In altre parole, abbiamo noi
abbastanza motivi per accettare la legge di causalità funzionale?
Prima che la teoria del
caos fosse entrata in essere, questa questione non era neppure mai stata
seriamente fatta nella comunità scientifica. La filosofia della meccanica
quantistica si era scontrata in un contesto diverso con questo problema. Ora
il movimento-caos, a causa della sensibile dipendenza dalle sue condizioni
iniziali, viola definitivamente l’operativa legge di causalità. Nel sistema
del caos, una piccola deviazione produce una grande deviazione. In un
modo-di-dire Cinese, si dice che "un errore pur piccolo come un singolo
capello può portarvi fuori strada di un migliaio di miglia".
Inoltre, può il
movimento-caos violare la stessa legge di causalità? Io penso di no. Almeno,
l'attuale teoria del caos non credo possa supportare questa decisa
affermazione.
Se il movimento-caos
distruggesse la legge della causalità funzionale, si imporrebbe in tutti i
sensi una limitazione vitale alle teorie di previsione in scienza e
ingegneria pratiche. Se il sistema in esame soddisfa la DMB, tutte le
condizioni sono OK. Ma, se non soddisfa la condizione DMB, dovremmo
riesaminare le conclusioni raggiunte in precedenza dalle persone. DMB
rappresenta P.M.M.Duhem, J.C.Maxwell e L.Brillouin, rispettivamente, che
dapprima sottolinearono il vero significato di instabilità dinamica nelle
scienze. La condizione DMB (ho coniato la sigla nel 1994) rappresenta la
condizione in cui il sistema non possiede un processo dinamico instabile.
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8. Il Determinismo e la
Prevedibilità
Molti filosofi della scienza hanno citato la
famosa descrizione sul determinismo di Pierre-Simon La-place in ‘Essai
Philosophique sur les Probabilités’ ed hanno fatto molti strani
commenti. Credo che le parole di Laplace siano rappresentate dalla struttura
della frase, “se (accadesse) qualcosa, qualcosa (succederà)"
con il modo congiuntivo che la fa assomigliare all'ipotesi della causalità.
Egli mandò avanti il paradigma deterministico al supremo livello, ma la sua
frase non può essere direttamente falsificata. In realtà essa è solo una
convinzione e non può mai essere falsificata.
Dopotutto, le scienze hanno a che fare con la
previsione degli affari. E’ a causa del movimento-caos che è impossibile
prevedere la condizione futura di un dato sistema? Assolutamente no! Ci sono
molti tipi di previsioni. Soltanto il caos impone certe limitazioni su certe
previsioni. Perfino nel senso della previsione di una traiettoria, essa non
è però condannata a morte dalla teoria del caos. Una traccia finita
dell’orbita caotica a livello locale è sempre possibile. Nel 1994, io creai
una formula per il sistema del caos: [ T = M / (L - L) ]
in cui T è il
tempo critico, (L e L sono rispettivamente l’esponente di
A.M.Liapunov e la costante di R.O.S.Lipschitz, ed anche M è una
costante. Se la previsione di tempo per un sistema caotico va al di là del
tempo critico T del sistema allora questa previsione, nel senso di
traiettoria, non è valida. Se la previsione di tempo è minore del tempo
critico T allora la previsione è possibile o forse accettabile.
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9. Caos e Metafora
I modelli di caos dal
1980 iniziarono a sostituire il ruolo dei modelli di periodo nelle scienze
naturali, economiche e sociali, perché i modelli di caos contengono
logicamente un punto fisso (equilibrio), modelli limite di ciclo (periodo),
e nel contempo possono anche simulare un processo più complicato.
La teoria del caos, insieme con altre parti delle scienze nonlineari, ha più
o meno modificato quella che era la metodologia scientifica. La teoria del
Caos utilizza metodi di riduzione, ma trascende ogni dogma riduzionista.
Nell’intera area di studi sul caos, la relazione tra comportamento globale e
quello locale, riduzione ed insorgenza, ordine e caos, prevedibilità e
imprevedibilità, è discussa teoricamente e praticamente in modo naturale.
Gli studi sul Caos
dettero impulso anche al cambiamento dei valori. Nei sistemi naturale e
artificiale, qual è il movimento migliore? È il punto di equilibrio, il
periodo stabile o il movimento caotico? Per un lungo periodo di tempo,
l'equilibrio e la periodicità sono stati considerati come buone condizioni.
Ora possiamo trovare che in alcuni casi, i movimenti instabile e caotico
possono essere più validi ed utili.
Non sorprende perciò che, le visioni sulla teoria del caos e l'ecologia
generale, siano considerate come forte supporto alla teoria e pratica dello
sviluppo sostenibile in campo accademico. Alcuni post-modernisti, le
femministe ed il misticismo prendono abbastanza arbitrariamente in prestito
concetti scientifici in voga, tra cui caos, nonlinearità, biforcazione,
frattali, per sostenere per le loro credenze. Ci sono molti malintesi che
circolano sulla teoria del caos, dalla sua rigorosa traduzione matematica e
dalle scienze naturali, per essere introdotti nel criticismo culturale.
Senza dubbio, alcuni filosofi, letterari o critici d'arte e mistici,
utilizzano la teoria del caos come una metafora. Siccome nessuno può vietare
l'uso di termini scientifici e di metafore, in questa situazione, noi
dobbiamo mantenere un tollerante e scettica visione di alcune richieste.
Il presente documento
non intende intaccare i dibattiti sul caos dei ‘quanti’. Credo
che il caos classico e il caos quantistico (se mai esiste un tale caos)
rientrino in due diverse categorie descrittive delle scienze. La meccanica
classica è deterministica dall’inizio alla fine e solo le condizioni
iniziali ne per-mettono la possibilità di casualità. Tuttavia, la meccanica
quantistica è probabile nel suo fondamento. La probabilità come fondamentale
premessa viene introdotta nella teoria quantistica, tuttavia anche il
sistema formale stesso della meccanica quantistica è deterministico. In
particolare, è deterministica l'evoluzione del flusso di probabilità
quantistica. Non importa dove si voglia andare, i dibattiti sul caos
quantistico ci hanno permesso di riconsiderare la validità del principio di
corrispondenza. Riteniamo che ora l'uomo è ancora lontano dal trovare la
vera storia della natura.
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10. Brevi Conclusioni
Il concetto di caos nelle nostre culture ha
implicazioni molto vaste, ma nella moderna teoria del caos della dinamica
non lineare il caos è un termine chiaro con significati precisi. A mio
parere, il caos è una sorta di comportamento semplicistico rispetto a molti
altri processi sconosciuti nei sistemi fisici. E’ però difficile stabilire
se vi sia un nuovo tipo di regime statico tra i movimenti più complicati e
l’attuale movimento del caos. Ai matematici il compito di rispondere nel
futuro a questa domanda.
La teoria del Caos non ha nulla a che fare con la cosiddetta teoria
post-modernista. Il più importante impatto filosofico del caos sul
ragionamento scientifico è la sua violazione della causalità funzionale.
Essa conferma le preoccupazioni di David Hume.
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Riferimenti principali
1.H.M.Morse, Recurrent geodesics
on a surface of negative curvature, Trans. Ameri. Math. Soc., 1921,
22: 84-100
2.G.D.Birkhoff, Surface
transformation and their dynamical application, Acta Mathematica,
1922, 43: 1-119
3.J.H.Jeans, The Dynamical
Theory of Gases, fourth edition, Dover Publication, Inc., 1925
4.B. van der Pol & J. van der
Mark, Frequency Demultiplication, Nature, 1927, 120: 363-364
5.N.A.Levinson, A second order
differential equation with singular solutions, Annals of Mathematics,
1945, 50(1): 127-153
6.E.N.Lorenz, Deterministic
nonperiodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences, 1963, 20(2):
130-141
7.G.H.Walker & J.Ford, Amplitude
instability and ergodic behaviour for conservative nonlinear oscillator
systems, Phys. Rev., 1969, 188: 416-432
8.P.Collet & J.P.Eckmann,
Iterated Maps on the Interval as Dynamical System, Birkhäuser, 1980
9.A.J.Lichtenberg & M.A.Lieberman,
Regular and Stochastic Motion,
Springer-Verlag, 1982
10.J.Guckenheimer & P.Holmes,
Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields,
Springer-Verlag, 1983
11.Hao Bai-lin (ed.), Chaos,
World Scientific, 1984
12.G.M.K.Hunt, Determinism,
predictability and chaos, Analysis, June, 1987, 47(3): 129-133
13.J.Briggs & F.D.Peat,
Turbulent Mirror, Harper & Row, 1989
14.E.A.Jackson, Perspectives
of Nonlinear Dynamics, Vol. 1 &2, Cambridge University Press, 1990
15.D.Ruelle, Chance and Chaos,
Princeton University Press, 1991
16.G.Mar and P.Grim, Pattern and
Chaos: New Images in the Sementics of Paradox, noûs, 1991, 25:
659-693
17.Y.Ueda,Strange attractors and
the origin of chaos. In Nonlinear Science Today, 1992, 2(2): 1-8.
Also The Road to Chaos, The Science Frontier Express Series,
pp.195-216
18. J.A.Winnie, Computable chaos,
Philosophy of Science, 1992 59: 263-275
19. S.H.Kellert, In the Wake
of Chaos, The University of Chicago Press, 1994
20. Liu Huajie, The Semantics
and Philosophy of Chaos, in Chinese, Hunan Education Press (Changsha,
Hunan Province, China), 1998. |
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